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信号带宽:什么是最重要的,上升时间还是压摆率?
发布日期:2021-10-21 14:34

在信号完整性方面,很少有概念像信号带宽一样会造成如此多的混乱,带宽究竟指的是什么,时域中信号的哪些特征会影响带宽:上升时间还是压摆率?


对于下图中的两个波形,两个波形具有相同的上升时间,但压摆率相差5倍,它们的带宽是多少,哪个波形具有更高的带宽?答案可能会让你大吃一惊。这是一个重要的问题,因为它适用于仿真和测量的所有频域和时域分析。



虽然带宽是在涉及到信号的频率分量时使用的术语,但它只有一个模糊的定义,必须先加以澄清,然后才能应用它来帮助深入了解其与上升时间和压摆率的关系。从根本上说,带宽是信号“重要”频谱分量的频率范围。


对于 RF 信号时,这通常是指频谱中载波的频率分量范围,通常分为窄带和宽带。对于数字信号,由于它们的频率范围从 DC 开始,带宽是指信号中“重要”的最高正弦频率分量。歧义在于“重要”的定义, 仅查看频域中时域信号的频谱分量不足以回答“什么是重要的?”这个问题。


时域波形在频域中的表示


时域信号通常使用快速傅立叶变换 (FFT) 转换到频域,FFT 是离散傅立叶变换 (DFT) 的快速矩阵方案。这将时域 V(t) 波形变换为频域频谱,频谱由每个频谱频率区间中的复正弦振幅A(f)组成。通常只显示复振幅的幅度,但也有相关的相位。


时域波形的三个属性直接对应频谱的特征,无论波形是仿真还是测量的,这些都是适用的。


频谱是通过在有限时间的采集窗口中对波形进行采样来计算的,采集窗口是一个重复的时间间隔。DC 之上的第一个频率分量和频率分辨率与数据的总采集时间有关。如果总时间窗口为 1 us,则每个 bin 之间的频率间隔(即频率分辨率)为 1/1 us= 1MHz。


时域中采集窗口中V(t) 的平均值是频谱中直流分量即 0 Hz的幅度,例如,如果时域中的平均值为 0.5 V,则 0 Hz 频率分量的幅度也是 0.5 V。


频谱中的最高频率是时域中测量或仿真数据的采样率的一半,如果采样率为 100 GHz,则使用 FFT 计算到的最高频率分量为50 GHz。


对时域中理想正弦波做FFT 仅产生单一的正弦频率分量,即正弦波的频率。例如,使用 仿真App中的 FFT 函数计算的 10 MHz、100 MHz 和 1 GHz 三个理想正弦波的频谱如下图所示。时基为 1 微秒,采样间隔为 5 ps,分辨率为 1 MHz, 显示的最高频率为 100 GHz。在此示例中, FFT 使用了 Blackman-Harris 窗函数。



从这个例子,可以明显看出,正弦波的最高有效频谱分量就是正弦波频率本身,正弦波频率以上的频率分量的幅度基本等于 FFT 的数字本底噪声,是无关紧要的。


理想方波


可以用纸笔手动计算 FFT 的少数波形之一的是理想方波,频谱分量是重复频率即基频的倍数, 基频的每一个倍数都是一个谐波。它们的幅度以1/n 下降并且以下面公式表示:



其中A(n) 是每个谐波分量的幅度,n 是谐波数;


对于理想的完美对称方波,频谱中的所有偶数次谐波相互抵消并在数值上等于 0。波形的前半部分和后半部分之间的任何不对称都会产生一些偶次谐波分量,周期性类方波频谱中的二次谐波分量意味着被测方波在其周期的前半部分和后半部分之间存在某种不对称性。


任何 FFT 工具的简单检查就是对比其计算出的理想方波的频谱与理想分析计算的匹配程度(见下图)。在此示例中,左边方波的上升时间为 5 ps,并且具有完美对称的 50% 占空比,与右边具有 50.1% 占空比的相同方波进行了比较。



从理想方波的频谱来看,带宽是如何定义的?谐波的幅度按照1/f下降并变得非常小。低于什么幅度的频率分量是无关紧要的?必须小心应用诸如 3 dB 带宽(幅度下降 3 dB 时的频率)之类的定义,这只是幅度下降到初始值的 70%。一次谐波已经下降到方波电压峰峰值的 63%,三次谐波比一次谐波低 33%(约– 10 dB)。这是对具有 5 ps 上升时间的理想方波的分析。


信号频谱中谐波的幅度并不是那么重要,重要的是描述信号上升时间所需的最高频率。在这个具有 5 ps 上升时间的理想方波中,显示的所有频率分量都很重要,尽管其幅度很小,摒除某些频率分量意味着不能重建 5 ps 上升时间,信号频谱中频率分量的幅度或频谱分量的相对幅度变化不足以定义带宽。


合成有限上升时间的方波


另一种评估信号带宽(最高有效正弦频率分量)的方法是合成一个具有有限上升时间和明确带宽的方波。方波可以通过将其理想频谱中的每个频率分量从最低次谐波开始,一次一个地连续相加在一起来合成。


通过频谱可以识别频率分量及其幅度,包含除幅度 A(n) = 2/(pn) 以外的频率分量的频谱不会产生方波, 这将是一些失真的重复信号。幅度必须以 1/n 下降,才能产生类似方波的信号。


可以在时域中仿真多个不同频率的正弦波,并使用一个简单的电路将理想的正弦波电压源串联在一起。使用理想的 100 MHz 方波的分析计算幅度,下图显示了电路以及前 17 个谐波分量相加得到的时域波形。基频是 100 MHz,每个谐波都是 100 MHz 的倍数,偶次谐波的幅度为 0。随着更高频率分量添加到波形中,信号的上升时间减小, 它们是负相关的。



每个合成波形的带宽是明确的,在每个波形中重要的最高正弦频率分量是添加的最高频率正弦波。尽管更高频率的频率分量的幅度越来越小,但每个附加的分量对于缩短上升时间是至关重要的。


例如,具有前 17 个谐波分量的波形和该时域波形的频谱如下图所示,该波形的带宽设计为 1.7 GHz。



此仿真可用于实行简单的数值实验,将每个仿真波形的 10% 到 90% 上升时间与其设计带宽进行比较。并与常用的近似值 RT = 0.35/BW 相比,10% 到 90% 上升时间与设计带宽之间的关系如下图所示,上升时间和带宽成反比。这种关系的一个有用的品质因数是上升时间带宽积。在这个数值实验中,每一项都是有明确定义的。随着谐波次数的增加,该乘积也下图所示。



上图中绘制的数据点显示了基于数值实验的纯经验关系,该实验明确定义了重现特定上升时间所需的最高频率。上升时间带宽积的值在很大程度上取决于上升沿的精确形状。


与上升时间和带宽相关的常用模型是该数值实验结果的一个很好的近似值,然而,它只是一个近似值。该模型是基于一阶滤波器的理想阶跃响应推导出来的,在该模型中,极点频率被“随意”定义为信号的带宽。与基于经验实验的明确带宽定义相比,这种假设是相对合理的,经验实验中的上升时间-带宽乘积范围从 0.2 到大约 0.42,1阶模型的值 0.35 是处于此范围的近似值。


上升时间和1阶滤波器响应


如果将信号带宽定义为极点频率,则基于设计频谱与简单一阶滤波器响应模型相匹配的上升时间和带宽之间的经验关系。表明使用一阶滤波器的极点频率作为信号带宽有一些特别之处。


一阶低通滤波器在低频时具有 0 dB 的传递函数,在极点频率,传递函数下降到 – 3 dB, 此后,传递函数以20 dB/decade下降。这意味着当理想的方波频谱通过 1 极点滤波器时,极点频率处的频率分量的幅度下降了 3 dB(幅度下降到原始值的 70%),高于极点频率后,下降速度要快得多。对于谐波幅度开始下降并很快变得不重要的频率点,极点频率是一个很好的指标参数。



一阶模型的质量取决于时域波形的精确形状和带宽定义,对于 100 MHz 频率的合成方波,仅将前 9 个谐波加在一起的合成信号的带宽为 0.9 GHz,测得的 10% 到 90% 上升时间为 0.39 ns。具有特定形状的误差函数边沿信号(高斯积分)的10% 至 90% 上升时间也是 0.39 ns(参考下图),信号的形状不完全相同但相似,应该具有相似的带宽。



上升时间为 0.39 ns的误差函数信号的频谱看起来也像通过 一阶滤波器的理想方波的频谱(参考下图)。信号带宽 0.9 GHz 处的频率分量幅度也比理想方波低 3 dB,并且,在 0.9 GHz 以上,误差函数边沿信号的频率分量下降速度超过 20 dB/十倍频程。和在合成波形中一样,在极点频率之上,幅度是微不足道的。



说明滤波器的极点频率是确定时域中重建波形所需的最高频率分量的有用近似值。然而,这只是一个近似值。


这就是经验公式的来源,例如,1 ns上升时间信号的带宽为 0.35/1 ns = 350 MHz。鉴于带宽的这种近似值,压摆率是多少?


上升时间和压摆率


信号的压摆率是电压波形的斜率,即电压的变化率。对于一阶,压摆率为:



可以通过改变电压变化幅度来创建具有与上升时间无关的压摆率的信号,例如,在文章开始的图中显示了两个波形。它们具有相同的 10% 到 90% 的上升时间,均为 10 ns,但较大的幅度是较小幅度的 5 倍。因此,较大波形的压摆率是较小波形的 5 倍。


较大幅度的信号具有更大的 dV/dt,看起来它的频谱中应该有更高的频率分量以产生更大的斜率,但上升时间是相等的。当波形的幅度缩小时,频谱分量的幅度也缩小。对于相应的理想方波,幅度下降 3 dB 的频率是相同的(见下图)。因此,两个波形的带宽是相同的。



每个波形的带宽与频谱的形状有关,而不是频率分量的绝对幅度。重建具有较大幅度的有限上升时间方波与小幅度信号需要相同的频率分量,每个分量只是具有较大的幅度。重建每个波形所需的最高频率分量是相同的。


总结


时域中的每个信号在频域中都有自己对应的频谱。对于理想方波,很容易计算其频谱分量及其幅度。要创建具有 0 ps 上升时间的理想方波,需要无穷的正弦频率分量。尽管这些分量的幅度随着频率的提高而变得越来越小,但要创建一个较短的上升时间。每个分量都需要的,频率分量的绝对幅度不是决定其带宽的因素。


在合成有限上升时间的方波时,不需要带宽以上的频率分量来重新创建上升时间。根据经验,发现该带宽接近于常用的基于一阶滤波器阶跃响应的信号带宽模型。


信号的频谱取决于波形的精确形状。实际上,该频谱可由一阶滤波器的阶跃响应近似。极点频率是幅度比理想方波下降 3 dB 的频率,此后更高频率分量的贡献可以忽略不计。


由于影响带宽的是信号的上升时间,因此电压变化的斜率不是影响的因素。如果信号的幅度信号加倍,则压摆率加倍,每个谐波分量的幅度也加倍。但频率分量下降 3 dB, 并且之后下降得更快的频率点是相同的。


关键词:信号带宽 仿真 测量
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来 源:美国力科TeledyneLeCroy
编辑:清风
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